作者简介
张宇宁博士，飞利浦（中国）研究院资深研究员，CSHIA智能家居创业营、CSHIA微课堂最受欢迎导师。
引 言
去年五一假期写了一篇欧拉恒等式的短文（《后浪》刷屏 | 智能家居技术“前浪”解读“欧拉恒等式”），当时立了三个flag：欧拉恒等式，麦克斯韦方程组和三维空间的斯托克斯公式。今天终于把第三个flag收了。
龚昇先生在他的《微积分五讲》（B站上有资源）中，反复强调两个观点：1）三维空间的斯托克斯公式，是整个微积分的“顶峰和终点”，也是“近代数学的入口处”。2）单变量微积分和多变量微积分的根本区别，是多变量微积分有外微分形式而单变量微积分没有外微分形式。
这个观点大致搞明白了，写个短文总结记录一下，也希望把龚先生口中的这个“大美人”，“漂亮得不得了的东西”分享给更多的人。
01
基础知识
本文的目的，是用繁琐、啰嗦、重复的自然语言说清楚两件事情：
1） 这一堆东西到底在说什么事情？
2） 为什么就是这个样子？
我们想用最直白的语言说清楚第一件事。为了说明第二件事，就不得不使用一些数学语言和公式了。这篇短文需要的基础知识有：
偏微分与全微分
向量场与向量的运算（内积，外积）
向量场的三个度——梯度、散度、旋度
重积分，闭合曲面、闭合曲线的积分
格林定理、高斯定理、斯托克斯定理
即使没有这些基础知识，也可以读下去。因为那些繁琐、啰嗦、重复的自然语言依然可以告诉你“这一切都在说什么事”。
02
微积分中描述 “内部”与“边界”的三个定理—— 格林、高斯、斯托克斯定理
微积分到了向量空间与向量场这一步，引入了三个描述“整体”与“局部”，或者说“内部”与“边界”的定理。这三个定理我们直接抄在下面：
Green定理
Stokes定理
Gauss定理
这三个定理的证明不是我们的目的。它们所揭示的意义才是我们的关注点。以Green公式为例，它说向量场（P,Q）的某种运算形式（其实是图片）在平面D上的面积分，等于（P,Q）在边界L上的线积分。Stokes, Gauss公式也在说类似的事情。
我们的重点来了—— 有没有可能，这些定理之间是有关联的，他们都受一个更高级的定理支配？或者说，是不是存在一个更高级的定理，它说明了一个更普遍的事实，而上面这些公式只是这个更高级的定理在不同的条件下的例化？
答案是肯定的。确实存在一个更高级的定理，它统一了格林、高斯、斯托克斯定理。这三个定理只是这个更高级的定理在不同空间维度的例化。为了显示这个定理的与众不同，也为了替换“更高级的定理”这六个字，我们在本文中称它为“真理”。
为了揭露这个真理，不得不介绍外微分这个工具。
03
函数的外微分形式和三个定理的统一
多变量函数的外微分形式是探知这个“真理”的数学工具，但这是我十分不想去涉及的话题，因为它不够直观。我们先做个免责声明——你可以不去看这一节，这不会影响我们想讲的第一件事，即这一切都在说什么。但要想知道为什么就是这样，这节就躲不过去了。
所谓不够直观，让我们拿它和上次说的欧拉恒等式做个比较。如果我们用事后诸葛亮的视角去看欧拉恒等式那一套东西，我们会发现这个脉络是很清楚的。
我们来啰嗦一遍：先有极限的思想，然后有了导数的概念，进而求出连续函数的导数。这时泰勒传出关键球，说连续可微函数都可以展开成幂级数的形式，然后人们欢呼，求出指数函数、正弦、余弦的泰勒展开。关系已然若隐若现。最后欧拉出场，给出灵魂一击，引入虚数单位图片，进球！
我们似乎会感觉，即使自己站在那个时刻，也许也能灵光一现得出这个等式。
但是外微分形式不同，即使用“事后视角”，（对我来说）也很难想明白当初那些人怎么就想到这么办呢？这时我们只能退而求其次：我们不需要知道他们是怎么想到这个事的，我们只要知道他们这么做确实是有道理的。这也很好了。
外微分形式的思路大概基于两点事实：
1) 不管是直角坐标系，还是极坐标系或其它什么坐标系，坐标轴之间都是垂直的。即，坐标系的单位向量构成一组正交基。
2) 单位向量之间的乘法可以按照向量的外积运算，即将积分单位dxdy按dx 与 dy做向量积来处理，记作dx∧dy。这大概是所谓“外”微分的由来。
根据向量积（外积）的性质，我们立刻有两个关系：
即向量与自己的外积为零；向量交换次序则结果取负。
我们啰嗦一遍：函数（或向量场）可以看作是dx, dy, dz的线性组合；dx, dy, dz之间的乘法运算可以看作向量的外积运算。有了这个准备，下面我们来看这几个不同的公式是怎么统一到一起的。
下面的过程公式输入过于繁琐，我们就手写。
我们得到一个结论：在外微分形式的表示下，Green, Stocks, Gauss公式可以统一成一个公式：
它被称为三维空间的Stokes公式，或一般化的Stokes公式。其中，图片是函数或者向量场的外微分形式，d图片是对图片的微分；D是积分区域，图片这个区域的边界（降一维）。
这就是我们要揭露的真理。
04
微积分的“顶峰”和“终点”——三维空间的斯托克斯公式
我们再用啰嗦的自然语言把这个“真理”重说一遍：
在一个连续、平滑的函数或者向量场中（向量场是若干多变量函数的集合），函数（或向量场）的一阶外微分形式在一个封闭区域内的积分，总是等于这个函数（或向量场）在这个区域边界的积分。
写成公式就是：
其中，图片是函数或者向量场的外微分形式，d图片是对图片的微分；D是积分区域，图片这个区域的边界（降一维）。
整个微积分就是在从不同的角度描述这个“真理”。这个“真理”在不同的维度上就演化成了不同的定理。具体说来——
1) 在一维空间中，积分区域D是一个线段，D的边界是线段的两个端点。此时，函数F的微分形式在区域D上的积分，就转化成函数F在线段d的两个端点的值。这就是Newton-Leibniz公式（微积分基本定理）。
2) 在二维空间中，积分区域D是一个平面，D的边界是围绕平面的曲线L。此时，向量场（P, Q）的微分形式在区域D上的面积分，就转化成（P, Q）在曲线L上的线积分。这就是Green公式。
3) 在三维空间中，积分区域D是一个空间曲面，D的边界是围绕曲面的曲线L。此时，向量场（P, Q, R）的微分形式在区域D上的面积分，就转化成（P, Q, R）在曲线L上的线积分。这就是Stokes公式。
4) 在三维空间中，积分区域D是一个空间三维体，D的边界是围绕体的曲面S。此时，向量场（P, Q, R）的微分形式在区域D上的体积分，就转化成（P, Q, R）在曲面S上的面积分。这就是Gauss公式。
上面的四段话总结成一个表就是下表：
表1. 图片 在不同条件下的表现形式
上述等式中左边的那一堆式子看起来很复杂，它们就是函数（或向量场）在不同维度时的外微分形式。这个我们在前面已经计算过了（就是那个图片）。如果结合向量场中的“三度”（梯度、散度、旋度）的算子，这些公式可以写成很“玄幻”，很“高冷”的样子，但其本质还是在讲这些很朴实的事情。
比如，高斯公式可以用图片算子写成这个形式：
它和上面4）中展开的高斯公式是一回事，都是“真理”在描述三维向量场中体与其包络面的关系。这个关系的大白话是：向量场F的散度在区域V上的积分，等于这个向量场在区域的表面S的向量积分。把向量场理解成水流，就是说从一个区域V中流出去的水，全部都从这个区域V的表面S流了出去。这简直像是“正确的废话”了。只不过前者是数量的三重积分，后者是向量的二重积分。
你看，看似高深莫测，解构之后不过如此。
在实际的三维空间中，只会有表1中的四种情况。所以描述物理世界的“区域”与“边界”的定理就这四个，再没其他的了。
这就是文章开头说的“微积分中最简洁、最深刻的定理”，也是“微积分的顶峰和终点”。
05
微结尾——一个故事
这一切都有什么用呢？
曾经有段时间我很迷当年明月的《明朝那些事》，九本书反复读了好几遍。有人问他，你写明朝这些历史，到底想说什么呢？他用一个故事作为整个小说的结尾，一个关于徐霞客的故事。
我也想用一个故事做这个短文的结尾，一个法拉第和麦克斯韦的故事。
晚年的麦克斯韦已经是名誉世界的物理学家了，可他却陷于深深的苦恼。他不能将他关于电磁学的发现用数学公式统一起来。考虑到那个年代的物理学公式比如电磁力公式，法拉第想的大概是物理量的四则运算。而四则运算是不可能解释电磁现象的。
在法拉第等人大量地发现电磁现象的几年里，年轻的麦克斯韦正在剑桥大学学习“当时世界上最先进的数学”，也就是微积分。后来的某一天，麦克斯韦拜见法拉第，说“我可以用数学公式统一所有的电磁现象”。麦克斯韦面对那一条条文字叙述的电磁规律，大笔一挥写下了四个方程——麦克斯韦方程组。这个方程组有不同的表现形式，但不管形式怎么变，它都在反复地说这么四件事——电场是有源场；磁场是无源场；电流和电场的变化产生磁场；磁场的变化产生电场。
纪录片：《天才简史—麦克斯韦》
这个方程组不但解释了当时已经发现的所有电磁学现象，它的后两个公式，强烈地暗示麦克斯韦电场和磁场之间有某种关系（我们上一次讲到，指数函数、正弦函数、余弦函数的泰勒展开强烈暗示欧拉它们之间有关系。这里终于引出了第二个“强烈的暗示”）。据此，他预言电场和磁场可以互相转换，甚至可以脱离介质而以一种波的形态在空间中存在！
这套方程组和理论因为太过于玄幻、晦涩难懂，在麦克斯韦生前迟迟没有得到物理学界的认可。“年仅49岁的麦克斯韦在不如意的境遇下，带着满身的遗憾和失落，早早地离开人世”。
直至他离世7年后，德国物理学家赫兹在实验中发现了电磁波的存在。此后，电磁学蓬勃发展并深刻地改变了世界。麦克斯韦和他的理论被一步步推向神坛。今天，麦克斯韦方程组被誉为“最美的物理公式”，而麦克斯韦本人也被誉为继牛顿之后，爱因斯坦之前最伟大的物理学家。
