[导读] 五四青年节，被短视频《后浪》刷屏了。我一个中年大叔看得满脸羡慕，如片中所言，科学技术、文化艺术、国家城市，都是给年轻一代最好的礼物。
以下文章来源于Zhaga Consortium ，作者张宇宁博士
前 言
五四青年节，被短视频《后浪》刷屏了。我一个中年大叔看得满脸羡慕，如片中所言，科学技术、文化艺术、国家城市，都是给年轻一代最好的礼物。
趁着这颗被激动起来的心，将最近心中在想又一直以没时间为借口其实就是懒不想写的几个事情写成笔记。借着《后浪》之余温，怀缅 “前浪”的伟大。
就写两个题目：分别是号称最美数学公式的欧拉恒等式，和号称最美物理公式的麦克斯韦方程。选择它们的原因有二：一是它们确实充满美感，似乎触及了上帝的心思。二是我是最近才搞明白这些事情，写个笔记记录下来。
其实还有第三个题目：龚升先生说“三维空间的斯托克斯公式，是微积分中最深刻的定理，是微积分这门课程的顶峰和终点，也是近代数学的入口处”。这段话我还没想明白，哪天万一想明白了，再写下来。
五一假期后开工第一天，从欧拉公式开始！考虑到公式的输入实在是麻烦，所有涉及公式我们就手写。
从微积分到欧拉恒等式
欧拉恒等式就长这个样子。很简单的一个式子，联系了1，0，虚数单位i，和两个超越数e和π。没有多余的东西。
欧拉恒等式从哪来的呢？它从欧拉公式来。欧拉公式又从哪来的呢？它从连续函数的泰勒展开来。泰勒展开又从哪来的呢？它从函数的微分来。下面我们就按着这个顺序，复盘一下欧拉恒等式的诞生。
1.微积分的出现
为了研究“变化”的关系，人们逐渐发现了研究无穷小量的方法。直到牛顿和莱布尼兹两位大神各自独立地提出一整套方法论，微积分就算是诞生了。
微分的定义由极限给出：
人们惊呼牛顿牛逼！然后趁热打铁，算出了一堆函数的微分。我们需要知道的只有这些：
2.泰勒展开
泰勒展开要干什么事情？
人们发现，有些函数很好处理，比如幂函数和多项式函数。有些函数不好处理，比如三角函数，指数函数，对数函数等等。那么，能不能把任何一个函数都用多项式函数来表达呢？
大家本能地觉得，这不可能吧！这时候泰勒同学站出来说，可以！加一个限制条件：只要这个函数是连续可微的。（这也很好理解，如果一个函数是突变的，甚至是分段的，那无论如何不能被简单函数“拟合”）。
我这里用一个小人赛跑的比喻来描述它。这个比喻不是我想到的，是B站中的“妈咪说”提到的（欢迎大家去看）。这个比喻是如此的生动、形象，接近本质，以至于我听到一次就忘不掉了。
说有两个小人跑步。A小人可以随意跑，B小人的目标就是跟着A跑，跑出一条一毛一样的轨迹。请问B该怎么做？
首先，B要和A站在同样的起点，对吧？然后B还要知道A的初始速度，这样就可以跟着A跑一小段。如果B还知道A的加速度，就可以跟跑更长的一段…如果小人B在出发的一刻知道小人A的加速度的加速度的加速度……就可以跟着A跑越来越长的一段距离。
我们把这个情景表达成对话的形式。
小人A：“我跑了啊，你跟我！“
小人B：“我先和你站在一条线上”
小人B：“哎呀！你的速度这么快！那我也这么快！”
小人B：“卧槽！你还想加速？那我也加速！”
小人B：“尼玛！你居然想先加速再减速然后回头跑…你太奸诈了！！”
如此下去，在枪响的一瞬间，小人B知道小人A的心思越多，小人B能跟上小人A的距离就越长。
泰勒同学的方法就是这么回事——只要我能知道一个函数在一个点的足够多次的导数，我就能更加真实地逼近它。
当然这个描述不是十分的严格。在f(x)的一个邻域内，余项是收敛的。出了这个邻域，余项是发散的。这个不在我们讨论的范围内，而且这并不影响我们这样去理解它。
人们惊呼泰勒同学牛逼！然后又一次趁热打铁，算出了一堆函数的泰勒展开。我们用到的只有这些：
3.欧拉公式
然后就是欧拉大神出场了。欧拉看着这些函数的展开式，受到了强烈的暗示（请注意这个“强烈的暗示“，我们在下期的麦克斯韦方程中也会用到）：指数函数和正弦函数、余弦函数之间一定有某种关系！
当然这是我们对大神的揣测。也许在欧拉看来，这一步是“显然“，”易知“，“送分题”。
欧拉将虚数单位i引进来，关系立刻出现：
是为欧拉公式。
当x = π时，立得欧拉恒等式：
“奇迹“就这么诞生了。
后 记
与其说我们是在怀念“前浪“的伟大，不如说是在赞叹“古人”的智慧。这里面最年轻的欧拉，比乾隆还要大四岁。
有人会问，这玩意有什么用呢？对绝大部分的人来说，这基本没什么用。但是有个例外，如果你家有初中的孩子，问你三角函数的公式时，你可以“卖弄”一下。
问：三角函数的倍角公式怎么推导？
方法一：初等数学——造图形，找线段，做相等。比较繁琐难记，网上可找。
方法二：由欧拉公式一步立得，一分钟都不要：
你写一个α，一个β，sin (α+β)也立刻出来了。
